Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[6]{x + 3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[6]{y + 3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[6]{y + 3} = x$ .

$\sqrt[6]{y + 3} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $6$ .

${\sqrt[6]{y + 3}}^{6} = x^{6}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[6]{y + 3}$ в виде ${(y + 3)}^{\frac{1}{6}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} = x^{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 3)}^{1} = x^{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$y + 3 = x^{6}$

Этап 3.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{6} - 3$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ обратной к $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(\sqrt[6]{x + 3})}^{6} - 3$

Этап 5.2.3

Перепишем ${\sqrt[6]{x + 3}}^{6}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[6]{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{6}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} - 3$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} - 3$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Этап 5.2.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 3 - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{6} - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{(x^{6} - 3) + 3}$

Этап 5.3.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6} + 0}$

Этап 5.3.4

Добавим $x^{6}$ и $0$ .

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{6} - 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ — обратная к $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$