Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ в виде уравнения.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{3 y - 5})$ , вынося $3 y - 5$ из логарифма.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Этап 3.4.3

Умножим $3 y - 5$ на $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Этап 3.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Этап 3.6

Разделим каждый член $3 y = \ln (x + 2) + 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $3 y = \ln (x + 2) + 5$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ обратной к $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим противоположные члены в $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 5.2.3.1.2

Добавим $e^{3 x - 5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3 x - 5$ из степени.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Этап 5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $3 x - 5$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Перепишем $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.1.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.2

Чтобы записать $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.1

Умножим $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.1.1

Изменим порядок $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ и $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.1.1.2

Упростим $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.1.3

Упростим.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Этап 5.3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Этап 5.3.3.2

Объединим противоположные члены в $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $\ln (x + 2)$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Этап 5.3.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ — обратная к $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$