Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{8 - x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{8 - x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{8 - x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{8 - y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{8 - y} = x$ .

$\sqrt{8 - y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{8 - y}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - y}$ в виде ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 - y)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$8 - y = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- y = x^{2} - 8$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- y = x^{2} - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- y = x^{2} - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$y = - x^{2} + 8$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ обратной к $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{8 - x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(\sqrt{8 - x})}^{2} + 8$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ в виде $8 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - x}$ в виде ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Этап 5.2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Этап 5.2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Этап 5.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Этап 5.2.3.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Этап 5.2.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 8 + x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- x^{2} + 8)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 - (- x^{2} + 8)}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 1 \cdot 8}$

Этап 5.3.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 8}$

Этап 5.3.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.6

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- x^{2} + 8) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ — обратная к $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$