Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 2 x = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $(\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$ в виде $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ на $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} \cdot \frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ на $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{y - 2}$ в степень $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.3

Возведем $\sqrt{y - 2}$ в степень $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ в виде $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 2}$ в виде ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{1}} (y - 2)$

Этап 3.3.1.3.6.5

Упростим.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{y - 2} (y - 2)$

Этап 3.3.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

Этап 3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y x - 2 x = \sqrt{(y + 3) (y - 2)}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\sqrt{(y + 3) (y - 2)} = y x - 2 x$

Этап 3.4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(y + 3) (y - 2)}$ в виде ${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Упростим ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((y + 3) (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Развернем $(y + 3) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(y (y - 2) + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

${(y^{2} + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

${(y^{2} - 2 \cdot y + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

${(y^{2} - 2 y + 3 y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.3.2

Добавим $- 2 y$ и $3 y$ .

${(y^{2} + y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.4

Упростим.

$y^{2} + y - 6 = {(y x - 2 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Упростим ${(y x - 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Перепишем ${(y x - 2 x)}^{2}$ в виде $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ .

$y^{2} + y - 6 = (y x - 2 x) (y x - 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2

Развернем $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x - 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Перенесем $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x \cdot x - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y (x \cdot x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 (x \cdot x) y - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Перенесем $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.8

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.2

Вычтем $2 x^{2} y$ из $- 2 y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.2.2

Вычтем $2 x^{2} y$ из $- 2 x^{2} y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

Этап 3.4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вычтем $y^{2} x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} = - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

Этап 3.4.4.1.2

Добавим $4 x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y = 4 x^{2}$

Этап 3.4.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y - 4 x^{2} = 0$

Этап 3.4.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.4.4

Подставим значения $a = 1 - x^{2}$ , $b = 1 + 4 x^{2}$ и $c = - 6 - 4 x^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (1 + 4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.4

Перепишем ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ в виде $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.5

Развернем $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.2

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.6.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.10

Развернем $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.11.1.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1.11.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.1.6

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.11.2

Вычтем $24 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.12

Добавим $1$ и $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.13

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.14

Добавим $16 x^{4}$ и $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.15

Вычтем $16 x^{4}$ из $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.16

Добавим $0$ и $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.17

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.1.18

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Этап 3.4.4.5.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.4

Перепишем ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ в виде $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.5

Развернем $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.2

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.6.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.10

Развернем $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.11.1.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1.11.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.1.6

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.11.2

Вычтем $24 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.12

Добавим $1$ и $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.13

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.14

Добавим $16 x^{4}$ и $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.15

Вычтем $16 x^{4}$ из $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.16

Добавим $0$ и $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.17

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.1.18

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Этап 3.4.4.6.2.2

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} + 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.4.1

Добавим $- 1$ и $5$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.4

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$y = \frac{4 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.4.5

$y = \frac{4 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (1 + x) (1 - x)$ .

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.5.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.6.5.3

Перепишем это выражение.

$y = 2$

Этап 3.4.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.4

Перепишем ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ в виде $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.5

Развернем $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.2

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.6.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.10

Развернем $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.11.1.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1.11.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.1.6

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.11.2

Вычтем $24 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.12

Добавим $1$ и $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.13

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.14

Добавим $16 x^{4}$ и $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.15

Вычтем $16 x^{4}$ из $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.16

Добавим $0$ и $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.17

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.1.18

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.2.2

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} - 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.4.1

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.5.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.5.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 2 x^{2} - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.7

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - 1 (3)$ .

$y = \frac{- (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.9

Перепишем $- (2 x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 3)$ .

$y = \frac{- 1 (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.4.4.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ обратной к $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ и $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.3

Find the domain of the inverse.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем область определения $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.3.2

Найдем область определения $- \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 5.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 5.3.2.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.3.2.2.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 5.3.2.2.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 5.3.2.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 5.3.2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 5.3.2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.3.3

Найдем объединение $(- \infty, \infty), (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ , то $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Обратная не существует

Этап 6