Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 \log (x) - 3$ в виде уравнения.

$y = 6 \log (x) - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 \log (y) - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$6 \log (y) = x + 3$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 \log (y) = x + 3$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 \log (y) = x + 3$ на $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\log (y)$ на $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Перепишем $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ обратной к $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $6 \log (x) - 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3.2

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $\log (x^{2})$ и $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Этап 5.2.5

Развернем $\log (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $\log (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Этап 5.2.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ из степени.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Этап 5.3.3.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Этап 5.3.3.3

Умножим $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ на $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Этап 5.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Этап 5.3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Этап 5.3.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Этап 5.3.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ — обратная к $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$