Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ в виде уравнения.

$y = 6 - \frac{1}{9} x$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 - \frac{1}{9} y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 - \frac{1}{9} y = x$ .

$6 - \frac{1}{9} y = x$

Этап 3.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{9}$ .

$6 - \frac{y}{9} = x$

Этап 3.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{9} = x - 6$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y}{9}) = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- 9 (- \frac{y}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{9}$ в числитель.

$- 9 \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$9 \cdot - 1 \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 9 (x - 6)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- 9 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 9 x - 9 \cdot - 6$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- 9$ на $- 6$ .

$y = - 9 x + 54$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$ обратной к $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 (6 - \frac{1}{9} x) + 54$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{9}$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 (6 - \frac{x}{9}) + 54$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 \cdot 6 - 9 (- \frac{x}{9}) + 54$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 9$ на $6$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 9 (- \frac{x}{9}) + 54$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{9}$ в числитель.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 9 \frac{- x}{9} + 54$

Этап 5.2.3.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) + 54$

Этап 5.2.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) + 54$

Этап 5.2.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 1 (- x) + 54$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 1 x + 54$

Этап 5.2.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + x + 54$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 54 + x + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 54$ и $54$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- 9 x + 54)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 - \frac{1}{9} \cdot (- 9 x + 54)$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 9 x + 54) = 6 - \frac{1}{9} \cdot (- 9 x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (- 9 x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (- x)) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (- x)) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 9 x + 54) = 6 - 1 (- x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + 1 x - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - \frac{1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot 54$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем множитель $9$ из $54$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (6))$

Этап 5.3.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot (9 \cdot 6)$

Этап 5.3.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - 1 \cdot 6$

Этап 5.3.3.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $6 + x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (- 9 x + 54) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- 9 x + 54) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$ — обратная к $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ .

$f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$