Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ в виде уравнения.

$y = 4 + \sqrt{x + 4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 + \sqrt{y + 4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 + \sqrt{y + 4} = x$ .

$4 + \sqrt{y + 4} = x$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y + 4} = x - 4$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 4}$ в виде ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 4)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y + 4 = {(x - 4)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$y + 4 = (x - 4) (x - 4)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$y + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

Этап 3.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 4$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 12$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ обратной к $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = {(4 + \sqrt{x + 4})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем ${(4 + \sqrt{x + 4})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = (4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.2

Развернем $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 (4 + \sqrt{x + 4}) + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x + 4}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ в виде $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.1.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.2

Добавим $16$ и $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.3.3

Добавим $4 \sqrt{x + 4}$ и $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Этап 5.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 \cdot 4 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $8 \sqrt{x + 4}$ из $8 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 0 + 12$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $20 + x - 32$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 12$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $32$ из $20$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x - 12 + 12$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 12 + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 12$ и $12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 8 x + 12)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{(x^{2} - 8 x + 12) + 4}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $12$ и $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16}$

Этап 5.3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Этап 5.3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + x - 4$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $4 + x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ — обратная к $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$