Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 x^{3} - 3$ в виде уравнения.

$y = 5 x^{3} - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 y^{3} - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 y^{3} - 3 = x$ .

$5 y^{3} - 3 = x$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5 y^{3} = x + 3$

Этап 3.3

Разделим каждый член $5 y^{3} = x + 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $5 y^{3} = x + 3$ на $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{3}{5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{3}{5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{3}{5}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{3}{5}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{5}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{5}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{25}}{5}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 25}}{5}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$ обратной к $f (x) = 5 x^{3} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 x^{3} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} - 3) + 3)}}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $5 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $25$ на $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $125 x^{3}$ в виде ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5})}^{3} - 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}^{3}}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{25 (x + 3)}}^{3}$ в виде $25 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{25 (x + 3)}$ в виде ${(25 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot 3}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $25$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 75}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $25$ из $25 x + 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $25$ из $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) + 75}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot 3}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $25$ из $25 x + 25 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{5^{3}}) - 3$

Этап 5.3.3.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{125}) - 3$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{5 (25)}) - 3$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x + 3)}{5 \cdot 25}) - 3$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = \frac{25 (x + 3)}{25} - 3$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = \frac{25 (x + 3)}{25} - 3$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$ — обратная к $f (x) = 5 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x + 3)}}{5}$