Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + 7$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 x^{2} + 7$ в виде уравнения.

$y = 5 x^{2} + 7$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 y^{2} + 7$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 y^{2} + 7 = x$ .

$5 y^{2} + 7 = x$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$5 y^{2} = x - 7$

Этап 3.3

Разделим каждый член $5 y^{2} = x - 7$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $5 y^{2} = x - 7$ на $5$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x}{5} - \frac{7}{5}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 7}{5}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{x - 7}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5}$

Этап 3.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$

Этап 3.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ обратной к $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 5 x^{2} + 7$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[7, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 (x - 7)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 (x - 7) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $5 (x - 7) \geq 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $5 (x - 7) \geq 0$ на $5$ .

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $x - 7$ на $1$ .

$x - 7 \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x - 7 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $7$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 7$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[7, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 5 x^{2} + 7$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ , представляет область определения $f (x) = 5 x^{2} + 7$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ — обратная к $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Этап 6