Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 1.5 x + 250$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 1.5 x + 250$ в виде уравнения.

$y = - 1.5 x + 250$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 1.5 y + 250$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1.5 y + 250 = x$ .

$- 1.5 y + 250 = x$

Этап 3.2

Вычтем $250$ из обеих частей уравнения.

$- 1.5 y = x - 250$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 1.5 y = x - 250$ на $- 1.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 1.5 y = x - 250$ на $- 1.5$ .

$\frac{- 1.5 y}{- 1.5} = \frac{x}{- 1.5} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1.5 y}{- 1.5} = \frac{x}{- 1.5} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{- 1.5} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{1.5} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим на $1$ .

$y = - \frac{1 x}{1.5} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.3

Вынесем множитель $1.5$ из $1.5$ .

$y = - \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим дроби.

$y = - (\frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.5

Разделим $1$ на $1.5$ .

$y = - (0.\overline{6} \frac{x}{1}) + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.6

Разделим $x$ на $1$ .

$y = - (0.\overline{6} x) + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.7

Умножим $0.\overline{6}$ на $- 1$ .

$y = - 0.\overline{6} x + \frac{- 250}{- 1.5}$

Этап 3.3.3.1.8

Разделим $- 250$ на $- 1.5$ .

$y = - 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}$ обратной к $f (x) = - 1.5 x + 250$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 1.5 x + 250)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = - 0.\overline{6} (- 1.5 x + 250) + 166.\overline{6}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = - 0.\overline{6} (- 1.5 x) - 0.\overline{6} \cdot 250 + 166.\overline{6}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 0.\overline{6} (- 1.5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $- 1.5$ на $- 0.\overline{6}$ .

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = 1 x - 0.\overline{6} \cdot 250 + 166.\overline{6}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = x - 0.\overline{6} \cdot 250 + 166.\overline{6}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 0.\overline{6}$ на $250$ .

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = x - 166.\overline{6} + 166.\overline{6}$

Этап 5.2.4

Добавим $- 166.\overline{6}$ и $166.\overline{6}$ .

$f^{- 1} (- 1.5 x + 250) = x 0$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = - 1.5 (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) + 250$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = - 1.5 (- 0.\overline{6} x) - 1.5 \cdot 166.\overline{6} + 250$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1.5 (- 0.\overline{6} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $- 0.\overline{6}$ на $- 1.5$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = 1 x - 1.5 \cdot 166.\overline{6} + 250$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = x - 1.5 \cdot 166.\overline{6} + 250$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1.5$ на $166.\overline{6}$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = x - 250 + 250$

Этап 5.3.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 250$ и $250$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}$ — обратная к $f (x) = - 1.5 x + 250$ .

$f^{- 1} (x) = - 0.\overline{6} x + 166.\overline{6}$