Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 + 3 x$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 + 3 x$ в виде уравнения.

$y = 2 + 3 x$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 + 3 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + 3 y = x$ .

$2 + 3 y = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 y = x - 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 y = x - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 y = x - 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$ обратной к $f (x) = 2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 + 3 x)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{2 + 3 x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{2 + 3 x - 2}{3}$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $2 + 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{3})$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{3})$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (- \frac{2}{3})$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (\frac{- 2}{3})$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (\frac{- 2}{3})$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$ — обратная к $f (x) = 2 + 3 x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$