Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ в виде уравнения.

$y = 2 - \frac{1}{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 - \frac{1}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 - \frac{1}{y} = x$ .

$2 - \frac{1}{y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{y} = x - 2$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.4

Каждый член в $- \frac{1}{y} = x - 2$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = x - 2$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x y - 2 y$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x y - 2 y$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 2 y = - 1$ .

$x y - 2 y = - 1$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - 2 y = - 1$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = - 1$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = - 1$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y (x - 2) = - 1$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = - 1$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x - 2}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x - 2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ обратной к $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 - \frac{1}{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{(2 - \frac{1}{x}) - 2}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x} + 0}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $- \frac{1}{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = 1 x$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{1}{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{1}{- \frac{1}{x - 2}}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x - 2}}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{x - 2}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 (x - 2)$

Этап 5.3.3.3

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

Этап 5.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

Этап 5.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ — обратная к $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$