Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 e^{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 e^{x}$ в виде уравнения.

$y = 3 e^{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 e^{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{y} = x$ .

$3 e^{y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 e^{y} = x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 e^{y} = x$ на $3$ .

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{3}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ обратной к $f (x) = 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 e^{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Этап 5.2.3.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \ln (e)$

Этап 5.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \cdot 1$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{x}{3}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ — обратная к $f (x) = 3 e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$