Основы мат. анализа Примеры

$h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{4}{y^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{4}{y^{2}} = x$ .

$- \frac{4}{y^{2}} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{4}{y^{2}} = x$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{4}{y^{2}} = x$ на $y^{2}$ .

$- \frac{4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 = x y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{2} = - 4$ .

$x y^{2} = - 4$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $x y^{2} = - 4$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $x y^{2} = - 4$ на $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{x}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{4}{x}$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 3.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 3.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 3.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 5

Проверим, является ли $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ обратной к $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ и $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \frac{4}{x} \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

Этап 5.3.2.2

Найдем область определения $- \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.3.2.3

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0)$

Этап 5.4

Найдем область определения $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ , представляет область определения $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ , то $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ — обратная к $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Этап 6