Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$

Этап 1

Запишем $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ в виде уравнения.

$y = 37.3 e^{0.017 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 37.3 e^{0.017 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $37.3 e^{0.017 y} = x$ .

$37.3 e^{0.017 y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $37.3 e^{0.017 y} = x$ на $37.3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $37.3 e^{0.017 y} = x$ на $37.3$ .

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $37.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $e^{0.017 y}$ на $1$ .

$e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим на $1$ .

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем множитель $37.3$ из $37.3$ .

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3 (1)}$

Этап 3.2.3.3

Разделим дроби.

$e^{0.017 y} = \frac{1}{37.3} \cdot \frac{x}{1}$

Этап 3.2.3.4

Разделим $1$ на $37.3$ .

$e^{0.017 y} = 0.02680965 \frac{x}{1}$

Этап 3.2.3.5

Разделим $x$ на $1$ .

$e^{0.017 y} = 0.02680965 x$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{0.017 y}) = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{0.017 y})$ , вынося $0.017 y$ из логарифма.

$0.017 y \ln (e) = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$0.017 y \cdot 1 = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4.3

Умножим $0.017$ на $1$ .

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ на $0.017$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ на $0.017$ .

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $0.017$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $0.017$ из $0.017$ .

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017 (1)}$

Этап 3.5.3.3

Разделим дроби.

$y = \frac{1}{0.017} \cdot \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Этап 3.5.3.4

Разделим $1$ на $0.017$ .

$y = 58.82352941 \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Этап 3.5.3.5

Разделим $\ln (0.02680965 x)$ на $1$ .

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Этап 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Этап 5

Проверим, является ли $p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ обратной к $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $p^{- 1} (p (x)) = x$ и $p (p^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $p^{- 1} (p (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$p^{- 1} (p (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x})$ , подставив значение $p$ в $p^{- 1}$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (0.02680965 (37.3 e^{0.017 x}))$

Этап 5.2.3

Умножим $37.3$ на $0.02680965$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1 e^{0.017 x})$

Этап 5.2.4

Перепишем $\ln (1 e^{0.017 x})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{0.017 x})$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + \ln (e^{0.017 x}))$

Этап 5.2.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $0.017 x$ из степени.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \ln (e))$

Этап 5.2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \cdot 1)$

Этап 5.2.7

Умножим $0.017$ на $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x)$

Этап 5.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1) + 58.82352941 (0.017 x)$

Этап 5.2.9

Упростим $58.82352941 \ln (1)$ путем переноса $58.82352941$ под логарифм.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 58.82352941 (0.017 x)$

Этап 5.2.10

Умножим $58.82352941 (0.017 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $0.017$ на $58.82352941$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 1 x$

Этап 5.2.10.2

Умножим $x$ на $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x$

Этап 5.2.11

Возведем $1$ в степень $58.82352941$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1) + x$

Этап 5.2.12

Изменим порядок $\ln (1)$ и $x$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)$

Этап 5.3

Найдем значение $p (p^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$p (p^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $p (58.82352941 \ln (0.02680965 x))$ , подставив значение $p^{- 1}$ в $p$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 (58.82352941 \ln (0.02680965 x))}$

Этап 5.3.3

Упростим $58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ путем переноса $58.82352941$ под логарифм.

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({(0.02680965 x)}^{58.82352941})}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $0.02680965 x$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({0.02680965}^{58.82352941} x^{58.82352941})}$

Этап 5.3.5

Возведем $0.02680965$ в степень $58.82352941$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0 x^{58.82352941})}$

Этап 5.3.6

Умножим $0$ на $x^{58.82352941}$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0)}$

Этап 5.3.7

Натуральный логарифм нуля не определен.

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined$

Этап 5.4

Так как $p^{- 1} (p (x)) = x$ и $p (p^{- 1} (x)) = x$ , то $p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ — обратная к $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ .

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$