Основы мат. анализа Примеры

p (x) = 37.3 e^{0.017 x}

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$

Этап 1

Запишем

p (x) = 37.3 e^{0.017 x}

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ в виде уравнения.

y = 37.3 e^{0.017 x}

$y = 37.3 e^{0.017 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = 37.3 e^{0.017 y}

$x = 37.3 e^{0.017 y}$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

37.3 e^{0.017 y} = x

$37.3 e^{0.017 y} = x$ .

37.3 e^{0.017 y} = x

$37.3 e^{0.017 y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член

37.3 e^{0.017 y} = x

$37.3 e^{0.017 y} = x$ на

37.3

$37.3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член

37.3 e^{0.017 y} = x

$37.3 e^{0.017 y} = x$ на

37.3

$37.3$ .

\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель

37.3

$37.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим

e^{0.017 y}

$e^{0.017 y}$ на

1

$1$ .

e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}

$e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}$

e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}

$e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}$

e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}

$e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим на

1

$1$ .

e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3}

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем множитель

37.3

$37.3$ из

37.3

$37.3$ .

e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3 (1)}

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3 (1)}$

Этап 3.2.3.3

Разделим дроби.

e^{0.017 y} = \frac{1}{37.3} \cdot \frac{x}{1}

$e^{0.017 y} = \frac{1}{37.3} \cdot \frac{x}{1}$

Этап 3.2.3.4

Разделим

1

$1$ на

37.3

$37.3$ .

e^{0.017 y} = 0.02680965 \frac{x}{1}

$e^{0.017 y} = 0.02680965 \frac{x}{1}$

Этап 3.2.3.5

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

e^{0.017 y} = 0.02680965 x

$e^{0.017 y} = 0.02680965 x$

e^{0.017 y} = 0.02680965 x

$e^{0.017 y} = 0.02680965 x$

e^{0.017 y} = 0.02680965 x

$e^{0.017 y} = 0.02680965 x$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

\ln (e^{0.017 y}) = \ln (0.02680965 x)

$\ln (e^{0.017 y}) = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем

\ln (e^{0.017 y})

$\ln (e^{0.017 y})$ , вынося

0.017 y

$0.017 y$ из логарифма.

0.017 y \ln (e) = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y \ln (e) = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

0.017 y \cdot 1 = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y \cdot 1 = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.4.3

Умножим

0.017

$0.017$ на

1

$1$ .

0.017 y = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$

0.017 y = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$

Этап 3.5

Разделим каждый член

0.017 y = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ на

0.017

$0.017$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член

0.017 y = \ln (0.02680965 x)

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ на

0.017

$0.017$ .

\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель

0.017

$0.017$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим

y

$y$ на

1

$1$ .

y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}

$y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}

$y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}

$y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим на

1

$1$ .

y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017}

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель

0.017

$0.017$ из

0.017

$0.017$ .

y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017 (1)}

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017 (1)}$

Этап 3.5.3.3

Разделим дроби.

y = \frac{1}{0.017} \cdot \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}

$y = \frac{1}{0.017} \cdot \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Этап 3.5.3.4

Разделим

1

$1$ на

0.017

$0.017$ .

y = 58.82352941 \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}

$y = 58.82352941 \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Этап 3.5.3.5

Разделим

\ln (0.02680965 x)

$\ln (0.02680965 x)$ на

1

$1$ .

y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Этап 4

Replace

y

$y$ with

p^{- 1} (x)

$p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Этап 5

Проверим, является ли

p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ обратной к

p (x) = 37.3 e^{0.017 x}

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

p^{- 1} (p (x)) = x

$p^{- 1} (p (x)) = x$ и

p (p^{- 1} (x)) = x

$p (p^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

p^{- 1} (p (x))

$p^{- 1} (p (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

p^{- 1} (p (x))

$p^{- 1} (p (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x})

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x})$ , подставив значение

p

$p$ в

p^{- 1}

$p^{- 1}$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (0.02680965 (37.3 e^{0.017 x}))

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (0.02680965 (37.3 e^{0.017 x}))$

Этап 5.2.3

Умножим

37.3

$37.3$ на

0.02680965

$0.02680965$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1 e^{0.017 x})

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1 e^{0.017 x})$

Этап 5.2.4

Перепишем

\ln (1 e^{0.017 x})

$\ln (1 e^{0.017 x})$ в виде

\ln (1) + \ln (e^{0.017 x})

$\ln (1) + \ln (e^{0.017 x})$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + \ln (e^{0.017 x}))

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + \ln (e^{0.017 x}))$

Этап 5.2.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести

0.017 x

$0.017 x$ из степени.

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \ln (e))

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \ln (e))$

Этап 5.2.6

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \cdot 1)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \cdot 1)$

Этап 5.2.7

Умножим

0.017

$0.017$ на

1

$1$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x)$

Этап 5.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1) + 58.82352941 (0.017 x)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1) + 58.82352941 (0.017 x)$

Этап 5.2.9

Упростим

58.82352941 \ln (1)

$58.82352941 \ln (1)$ путем переноса

58.82352941

$58.82352941$ под логарифм.

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 58.82352941 (0.017 x)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 58.82352941 (0.017 x)$

Этап 5.2.10

Умножим

58.82352941 (0.017 x)

$58.82352941 (0.017 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим

0.017

$0.017$ на

58.82352941

$58.82352941$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 1 x

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 1 x$

Этап 5.2.10.2

Умножим

x

$x$ на

1

$1$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x$

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x$

Этап 5.2.11

Возведем

1

$1$ в степень

58.82352941

$58.82352941$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1) + x

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1) + x$

Этап 5.2.12

Изменим порядок

\ln (1)

$\ln (1)$ и

x

$x$ .

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)$

p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)$

Этап 5.3

Найдем значение

p (p^{- 1} (x))

$p (p^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

p (p^{- 1} (x))

$p (p^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x))

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x))$ , подставив значение

p^{- 1}

$p^{- 1}$ в

p

$p$ .

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 (58.82352941 \ln (0.02680965 x))}

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 (58.82352941 \ln (0.02680965 x))}$

Этап 5.3.3

Упростим

58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ путем переноса

58.82352941

$58.82352941$ под логарифм.

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({(0.02680965 x)}^{58.82352941})}

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({(0.02680965 x)}^{58.82352941})}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к

0.02680965 x

$0.02680965 x$ .

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({0.02680965}^{58.82352941} x^{58.82352941})}

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({0.02680965}^{58.82352941} x^{58.82352941})}$

Этап 5.3.5

Возведем

0.02680965

$0.02680965$ в степень

58.82352941

$58.82352941$ .

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0 x^{58.82352941})}

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0 x^{58.82352941})}$

Этап 5.3.6

Умножим

0

$0$ на

x^{58.82352941}

$x^{58.82352941}$ .

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0)}

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0)}$

Этап 5.3.7

Натуральный логарифм нуля не определен.

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined$

p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined$

Этап 5.4

Так как

p^{- 1} (p (x)) = x

$p^{- 1} (p (x)) = x$ и

p (p^{- 1} (x)) = x

$p (p^{- 1} (x)) = x$ , то

p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ — обратная к

p (x) = 37.3 e^{0.017 x}

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ .

p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$