Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{6}{9 x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6}{9 y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6}{9 y - 1} = x$ .

$\frac{6}{9 y - 1} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9 y - 1, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$9 y - 1, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$9 y - 1$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{6}{9 y - 1} = x$ умножим на $9 y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{6}{9 y - 1} = x$ на $9 y - 1$ .

$\frac{6}{9 y - 1} (9 y - 1) = x (9 y - 1)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $9 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{9 y - 1} (9 y - 1) = x (9 y - 1)$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 = x (9 y - 1)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 = x (9 y) + x \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 = 9 x y + x \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$6 = 9 x y - 1 \cdot x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 = 9 x y - x$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $9 x y - x = 6$ .

$9 x y - x = 6$

Этап 2.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$9 x y = 6 + x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $9 x y = 6 + x$ на $9 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $9 x y = 6 + x$ на $9 x$ .

$\frac{9 x y}{9 x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x y}{9 x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{3 (2)}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x$ .

$y = \frac{3 (2)}{3 (3 x)} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 2}{3 (3 x)} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{x}{9 x}$

Этап 2.4.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$ обратной к $f (x) = \frac{6}{9 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{3 (\frac{6}{9 x - 1})} + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $3$ и $\frac{6}{9 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{\frac{3 \cdot 6}{9 x - 1}} + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{\frac{18}{9 x - 1}} + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{18}) + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{2 (9)}) + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{2 \cdot 9}) + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x - 1}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 4.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x - 1 + 1}{9}$

Этап 4.2.4.2

Объединим противоположные члены в $9 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $9 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 4.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{9 (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{9 (\frac{2}{3 x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (3) (\frac{2}{3 x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (3) (\frac{2}{3 (x)}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 \cdot (3 (\frac{2}{3 x})) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (\frac{2}{x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{x}$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{3 \cdot 2}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Этап 4.3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 1 - 1}$

Этап 4.3.3.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 0}$

Этап 4.3.3.7

Добавим $\frac{6}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = 6 (\frac{x}{6})$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$ — обратная к $f (x) = \frac{6}{9 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$