Основы мат. анализа Примеры

$y = {(x - 2)}^{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 2)}^{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 2)}^{3} = x$ .

${(y - 2)}^{3} = x$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \sqrt[3]{x}$

Этап 2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt[3]{x} + 2$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$ обратной к $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x - 2)}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Этап 4.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x - 2 + 2$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x + 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {((\sqrt[3]{x} + 2) - 2)}^{3}$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\sqrt[3]{x} + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Этап 4.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 4.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 4.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x$

Этап 4.3.4.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$ — обратная к $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$