Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{- 4}{2 (3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{2}{3}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{3})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 4 (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 2$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 2$

Этап 3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2$

Этап 3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{4 - 8}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{- 4}{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 6 - 4}{3}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 10}{3}$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{10}{3}$ .

$- \frac{10}{3}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(\frac{2}{3}, - \frac{10}{3})$

Этап 5