Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 7$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{18}{2 (- 3)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{18}{2 (- 3)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{18}{2 (- 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$x = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot 9}{2 (- 3)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{9}{- 3}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $9$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$x = - \frac{3 (3)}{- 3}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$x = - (- 1 \cdot 3)$

Этап 2.3.3

Умножим $- (- 1 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = - - 3$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x = 3$

Этап 3

Найдем значение $f (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3) - 7$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3) - 7$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f (3) = - 27 + 18 (3) - 7$

Этап 3.2.1.3

Умножим $18$ на $3$ .

$f (3) = - 27 + 54 - 7$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 27$ и $54$ .

$f (3) = 27 - 7$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $7$ из $27$ .

$f (3) = 20$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $20$ .

$20$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(3, 20)$

Этап 5