Основы мат. анализа Примеры

$y = - 2 x^{2} + 450 x$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{450}{2 (- 2)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{450}{2 (- 2)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{450}{2 (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $450$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $450$ .

$x = - \frac{2 \cdot 225}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 225}{2 (- 2)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 225}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{225}{- 2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{225}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{225}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{225}{2})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{225}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{225}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{225}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{225}{2}$ .

$f (\frac{225}{2}) = - 2 {(\frac{225}{2})}^{2} + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{225}{2}$ .

$f (\frac{225}{2}) = - 2 \frac{225^{2}}{2^{2}} + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.2

Возведем $225$ в степень $2$ .

$f (\frac{225}{2}) = - 2 \frac{50625}{2^{2}} + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{225}{2}) = - 2 (\frac{50625}{4}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{225}{2}) = 2 (- 1) (\frac{50625}{4}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{225}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{50625}{2 \cdot 2}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{225}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{50625}{2 \cdot 2}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{225}{2}) = - 1 (\frac{50625}{2}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{50625}{2})$ в виде $- (\frac{50625}{2})$ .

$f (\frac{225}{2}) = - (\frac{50625}{2}) + 450 (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $450$ .

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + 2 (225) (\frac{225}{2})$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + 2 \cdot (225 (\frac{225}{2}))$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + 225 \cdot 225$

Этап 3.2.1.7

Умножим $225$ на $225$ .

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + 50625$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $50625$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + 50625 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $50625$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{225}{2}) = - \frac{50625}{2} + \frac{50625 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{225}{2}) = \frac{- 50625 + 50625 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $50625$ на $2$ .

$f (\frac{225}{2}) = \frac{- 50625 + 101250}{2}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $- 50625$ и $101250$ .

$f (\frac{225}{2}) = \frac{50625}{2}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{50625}{2}$ .

$\frac{50625}{2}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{225}{2}, \frac{50625}{2})$

Этап 5