Основы мат. анализа Примеры

$y = - \frac{1}{16} x^{2} + 6 x + 5$

Этап 1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{16}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{16} + 6 x + 5$

Этап 2

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{6}{2 (- 0.0625)}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{6}{2 (- 0.0625)}$

Этап 3.3

Упростим $- \frac{6}{2 (- 0.0625)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 0.0625}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 0.0625$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (- 0.0625)}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 0.0625}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{3}{- 0.0625}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим $3$ на $- 0.0625$ .

$x = - - 48$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 48$ .

$x = 48$

Этап 4

Найдем значение $f (48)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $48$ .

$f (48) = - \frac{{(48)}^{2}}{16} + 6 (48) + 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $48$ в степень $2$ .

$f (48) = - \frac{2304}{16} + 6 (48) + 5$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2304$ на $16$ .

$f (48) = - 1 \cdot 144 + 6 (48) + 5$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $144$ .

$f (48) = - 144 + 6 (48) + 5$

Этап 4.2.1.4

Умножим $6$ на $48$ .

$f (48) = - 144 + 288 + 5$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 144$ и $288$ .

$f (48) = 144 + 5$

Этап 4.2.2.2

Добавим $144$ и $5$ .

$f (48) = 149$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $149$ .

$149$

Этап 5

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(48, 149)$

Этап 6