Основы мат. анализа Примеры

$h (t) = - 16 t^{2} + 70 t + 2$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $t = a t^{2} + b t + c$ входит в $t = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $t = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$t = - \frac{70}{2 (- 16)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$t = - \frac{70}{2 (- 16)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{70}{2 (- 16)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $70$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$t = - \frac{2 \cdot 35}{2 \cdot - 16}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 16$ .

$t = - \frac{2 \cdot 35}{2 (- 16)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = - \frac{2 \cdot 35}{2 \cdot - 16}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = - \frac{35}{- 16}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - - \frac{35}{16}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{35}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t = 1 (\frac{35}{16})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{35}{16}$ на $1$ .

$t = \frac{35}{16}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{35}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{35}{16}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - 16 {(\frac{35}{16})}^{2} + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{35}{16}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - 16 \frac{35^{2}}{16^{2}} + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.2

Возведем $35$ в степень $2$ .

$h (\frac{35}{16}) = - 16 \frac{1225}{16^{2}} + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.3

Возведем $16$ в степень $2$ .

$h (\frac{35}{16}) = - 16 (\frac{1225}{256}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$h (\frac{35}{16}) = 16 (- 1) (\frac{1225}{256}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$h (\frac{35}{16}) = 16 \cdot (- 1 \frac{1225}{16 \cdot 16}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$h (\frac{35}{16}) = 16 \cdot (- 1 \frac{1225}{16 \cdot 16}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$h (\frac{35}{16}) = - 1 (\frac{1225}{16}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{1225}{16})$ в виде $- (\frac{1225}{16})$ .

$h (\frac{35}{16}) = - (\frac{1225}{16}) + 70 (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + 2 (35) (\frac{35}{16}) + 2$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2 \cdot 8})) + 2$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2 \cdot 8})) + 2$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + 35 (\frac{35}{8}) + 2$

Этап 3.2.1.7

Объединим $35$ и $\frac{35}{8}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{35 \cdot 35}{8} + 2$

Этап 3.2.1.8

Умножим $35$ на $35$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225}{8} + 2$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{1225}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225}{8} \cdot \frac{2}{2} + 2$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{1225}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 2$

Этап 3.2.2.3

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.2.6

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 2$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.2.7

Умножим $2$ на $8$ .

$h (\frac{35}{16}) = - \frac{1225}{16} + \frac{1225 \cdot 2}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (\frac{35}{16}) = \frac{- 1225 + 1225 \cdot 2 + 2 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $1225$ на $2$ .

$h (\frac{35}{16}) = \frac{- 1225 + 2450 + 2 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$h (\frac{35}{16}) = \frac{- 1225 + 2450 + 32}{16}$

Этап 3.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $- 1225$ и $2450$ .

$h (\frac{35}{16}) = \frac{1225 + 32}{16}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $1225$ и $32$ .

$h (\frac{35}{16}) = \frac{1257}{16}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1257}{16}$ .

$\frac{1257}{16}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{35}{16}, \frac{1257}{16})$

Этап 5