Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = {(x + 5)}^{2} - 4$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$p (x) = (x + 5) (x + 5) - 4$

Этап 1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (x) = x (x + 5) + 5 (x + 5) - 4$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (x) = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5) - 4$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (x) = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5 - 4$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$p (x) = x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5 - 4$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$p (x) = x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5 - 4$

Этап 1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$p (x) = x^{2} + 5 x + 5 x + 25 - 4$

Этап 1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$p (x) = x^{2} + 10 x + 25 - 4$

Этап 2

Вычтем $4$ из $25$ .

$p (x) = x^{2} + 10 x + 21$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{10}{2 (1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{10}{2 (1)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{10}{2 (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{5}{1}$

Этап 4.3.1.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x = - 5$

Этап 5

Найдем значение $f (- 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$p (- 5) = {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 21$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$p (- 5) = 25 + 10 (- 5) + 21$

Этап 5.2.1.2

Умножим $10$ на $- 5$ .

$p (- 5) = 25 - 50 + 21$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$p (- 5) = - 25 + 21$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 25$ и $21$ .

$p (- 5) = - 4$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 5, - 4)$

Этап 7