Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Этап 4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 θ = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 5.1.5

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\cos (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$