Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{2} + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Этап 1.2.3.2.3

Разделим $1$ на $1$ .

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$e = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{3}{2})$

Этап 4