Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 10 x^{2} + 5 x - 7$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $10 x^{2} + 5 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 10$

$b = 5$

$c = - 7$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 10}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$d = \frac{5 (1)}{2 \cdot 10}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $2 \cdot 10$ .

$d = \frac{5 (1)}{5 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5 \cdot 1}{5 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 7 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 10}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = - 7 - \frac{25}{4 \cdot 10}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $10$ .

$e = - 7 - \frac{25}{40}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $25$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$e = - 7 - \frac{5 (5)}{40}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$e = - 7 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 8}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 7 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 8}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 7 - \frac{5}{8}$

Этап 1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$e = - 7 \cdot \frac{8}{8} - \frac{5}{8}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим $- 7$ и $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 7 \cdot 8}{8} - \frac{5}{8}$

Этап 1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 7 \cdot 8 - 5}{8}$

Этап 1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.5.1

Умножим $- 7$ на $8$ .

$e = \frac{- 56 - 5}{8}$

Этап 1.1.4.2.5.2

Вычтем $5$ из $- 56$ .

$e = \frac{- 61}{8}$

Этап 1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{61}{8}$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$ .

$10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 10$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = - \frac{61}{8}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{4}, - \frac{61}{8})$

Этап 4