Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} + 2 x - 3$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $- 2 x^{2} + 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - 3$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 2}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2^{2}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 1 (- 2))}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (- 2)$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 1)}^{2} {(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - 3 - \frac{1 {(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.1.4

Умножим ${(- 2)}^{2}$ на $1$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из ${(- 2)}^{2}$ .

$e = - 3 - \frac{- 2 \cdot - 2}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $- 2$ из $4 \cdot - 2$ .

$e = - 3 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Этап 1.1.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = - 3 - \frac{- 2 \cdot - 2}{- 2 (- 2 \cdot - 2)}$

Этап 1.1.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = - 3 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = - 3 - \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = - 3 - \frac{1}{- 2}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 3 - - \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 3 + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 1.1.4.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e = - 3 + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$e = \frac{- 6 + 1}{2}$

Этап 1.1.4.2.5.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$e = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{5}{2}$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{5}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 4