Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x - x^{2} - 3$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x - 3$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 4 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = - 3$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$e = - 3 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 3 - - 4$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = - 3 + 4$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$e = 1$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 2)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 1$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 1$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 1$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Этап 4