Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + 9 x - 16$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{9}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{2}}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.4

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.6

Умножим $9 (- \frac{9}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - 9 (\frac{9}{2}) - 16$

Этап 3.2.1.6.2

Объединим $- 9$ и $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} - 16$

Этап 3.2.1.6.3

Умножим $- 9$ на $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81}{2} - 16$

Этап 3.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 16$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 16$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 16$

Этап 3.2.2.3

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 - 16 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 81$ на $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 16 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 64}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 81 - 64}{4}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $64$ из $- 81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 145}{4}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{9}{2}) = - \frac{145}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{145}{4}$ .

$- \frac{145}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{9}{2}, - \frac{145}{4})$

Этап 5