Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{32}{{(20)}^{2}} x^{2} + x + 5$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$f (x) = - \frac{32}{400} x^{2} + x + 5$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $32$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (x) = - \frac{16 (2)}{400} x^{2} + x + 5$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $400$ .

$f (x) = - \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} x^{2} + x + 5$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = - \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 25} x^{2} + x + 5$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = - \frac{2}{25} x^{2} + x + 5$

Этап 1.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{25}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2} \cdot 2}{25} + x + 5$

Этап 1.4

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f (x) = - \frac{2 x^{2}}{25} + x + 5$

Этап 2

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (- 0.08)}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.08)}$

Этап 3.3

Упростим $- \frac{1}{2 (- 0.08)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $- 0.08$ .

$x = - \frac{1}{- 0.16}$

Этап 3.3.2

Разделим $1$ на $- 0.16$ .

$x = - - 6.25$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 6.25$ .

$x = 6.25$

Этап 4

Найдем значение $f (6.25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.25$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + 6.25 + 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + 6.25 + 5$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Запишем $6.25$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25}{1} + 5$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{6.25}{1}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25}{1} \cdot \frac{25}{25} + 5$

Этап 4.2.2.3

Умножим $\frac{6.25}{1}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25 \cdot 25}{25} + 5$

Этап 4.2.2.4

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25 \cdot 25}{25} + \frac{5}{1}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25 \cdot 25}{25} + \frac{5}{1} \cdot \frac{25}{25}$

Этап 4.2.2.6

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (6.25) = - \frac{2 {(6.25)}^{2}}{25} + \frac{6.25 \cdot 25}{25} + \frac{5 \cdot 25}{25}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (6.25) = \frac{- 2 {(6.25)}^{2} + 6.25 \cdot 25 + 5 \cdot 25}{25}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Возведем $6.25$ в степень $2$ .

$f (6.25) = \frac{- 2 \cdot 39.0625 + 6.25 \cdot 25 + 5 \cdot 25}{25}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 2$ на $39.0625$ .

$f (6.25) = \frac{- 78.125 + 6.25 \cdot 25 + 5 \cdot 25}{25}$

Этап 4.2.4.3

Умножим $6.25$ на $25$ .

$f (6.25) = \frac{- 78.125 + 156.25 + 5 \cdot 25}{25}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $5$ на $25$ .

$f (6.25) = \frac{- 78.125 + 156.25 + 125}{25}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $- 78.125$ и $156.25$ .

$f (6.25) = \frac{78.125 + 125}{25}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $78.125$ и $125$ .

$f (6.25) = \frac{203.125}{25}$

Этап 4.2.5.3

Разделим $203.125$ на $25$ .

$f (6.25) = 8.125$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $8.125$ .

$8.125$

Этап 5

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(6.25, 8.125)$

Этап 6