Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{4}{9} x^{2} + \frac{24}{9} x + 12$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{9}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2} \cdot 4}{9} + \frac{24}{9} x + 12$

Этап 1.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f (x) = - \frac{4 \cdot x^{2}}{9} + \frac{24}{9} x + 12$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$f (x) = - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{3 (8)}{9} x + 12$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (x) = - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x + 12$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x + 12$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{8}{3} x + 12$

Этап 1.4

Объединим $\frac{8}{3}$ и $x$ .

$f (x) = - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{8 x}{3} + 12$

Этап 2

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{2.\overline{6}}{2 (- 0.\overline{4})}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2.\overline{6}}{2 (- 0.\overline{4})}$

Этап 3.3

Упростим $- \frac{2.\overline{6}}{2 (- 0.\overline{4})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $- 0.\overline{4}$ .

$x = - \frac{2.\overline{6}}{- 0.\overline{8}}$

Этап 3.3.2

Разделим $2.\overline{6}$ на $- 0.\overline{8}$ .

$x = - - 3$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x = 3$

Этап 4

Найдем значение $f (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - \frac{4 {(3)}^{2}}{9} + \frac{8 (3)}{3} + 12$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $8$ на $3$ .

$f (3) = - \frac{4 {(3)}^{2}}{9} + \frac{24}{3} + 12$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{24}{3} + 12$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f (3) = - \frac{36}{9} + \frac{24}{3} + 12$

Этап 4.2.2.3

Разделим $36$ на $9$ .

$f (3) = - 1 \cdot 4 + \frac{24}{3} + 12$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (3) = - 4 + \frac{24}{3} + 12$

Этап 4.2.2.5

Разделим $24$ на $3$ .

$f (3) = - 4 + 8 + 12$

Этап 4.2.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 4$ и $8$ .

$f (3) = 4 + 12$

Этап 4.2.3.2

Добавим $4$ и $12$ .

$f (3) = 16$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 5

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(3, 16)$

Этап 6