Основы мат. анализа Примеры

${(3 x)}^{2} - 2 x - 5$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$f (x) = 3^{2} x^{2} - 2 x - 5$

Этап 1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (x) = 9 x^{2} - 2 x - 5$

Этап 2

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (9)}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 2}{2 (9)}$

Этап 3.3

Упростим $- \frac{- 2}{2 (9)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (9)}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 1}{9}$

Этап 3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{1}{9}$

Этап 3.3.3

Умножим $- - \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{9})$

Этап 3.3.3.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 4

Найдем значение $f (\frac{1}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{9}) = 9 {(\frac{1}{9})}^{2} - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{9}) = 9 (\frac{1^{2}}{9^{2}}) - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{9}) = 9 (\frac{1}{9^{2}}) - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{9}) = 9 (\frac{1}{81}) - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$f (\frac{1}{9}) = 9 (\frac{1}{9 (9)}) - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{9}) = 9 (\frac{1}{9 \cdot 9}) - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{9}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{9}) - 5$

Этап 4.2.1.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{9}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{9} - 5$

Этап 4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{9}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} - 5$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{9}) = - 5 + \frac{1 - 2}{9}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (\frac{1}{9}) = - 5 + \frac{- 1}{9}$

Этап 4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{9}) = - 5 - \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{9}) = - 5 \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

Этап 4.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{9}) = \frac{- 5 \cdot 9}{9} - \frac{1}{9}$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{9}) = \frac{- 5 \cdot 9 - 1}{9}$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 5$ на $9$ .

$f (\frac{1}{9}) = \frac{- 45 - 1}{9}$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $1$ из $- 45$ .

$f (\frac{1}{9}) = \frac{- 46}{9}$

Этап 4.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{9}) = - \frac{46}{9}$

Этап 4.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{46}{9}$ .

$- \frac{46}{9}$

Этап 5

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(\frac{1}{9}, - \frac{46}{9})$

Этап 6