Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$	$- 6$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$
	$2$	$- 6$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$
	$2$	$- 6$	$5$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$	$- 5$
	$2$	$- 6$	$5$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$	$- 5$
	$2$	$- 6$	$5$	$- 7$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + - 6 x + 5 + \frac{- 7}{x + 1}$

Этап 2.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 6 x + 5 - \frac{7}{x + 1}$

Этап 3

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + \frac{1}{2}}$ при $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$
	$2$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$
	$2$	$- 5$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 5)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{5}{2})$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$
	$2$	$- 5$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{3}{2})$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- \frac{3}{4})$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{3}{4}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{3}{4}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$	$- \frac{11}{4}$

Этап 4.9

$2 x^{2} + - 5 x + \frac{3}{2} + \frac{- \frac{11}{4}}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 4.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 5 x + \frac{3}{2} - \frac{11}{2 (2 x + 1)}$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{1}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{1}{2}$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + 2}$ при $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$
	$2$	$- 8$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 8)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$
	$2$	$- 8$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$
	$2$	$- 8$	$15$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(15)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$	$- 30$
	$2$	$- 8$	$15$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$	$- 30$
	$2$	$- 8$	$15$	$- 32$

Этап 6.9

$2 x^{2} + - 8 x + 15 + \frac{- 32}{x + 2}$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 8 x + 15 - \frac{32}{x + 2}$

Этап 7

Поскольку $- 2 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 2$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 2$

Этап 8

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Нет верхних границ

Нижние границы: $- 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 9