Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 16)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(15)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 15)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

Этап 2.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Этап 3

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ при $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 24)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(72)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(71)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 213)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

Этап 4.9

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

Этап 4.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

Этап 5

Поскольку $- 3 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 3$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 3$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ при $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 18)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(27)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(26)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 39)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

Этап 6.9

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

Этап 7

Поскольку $- \frac{3}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{3}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{3}{2}$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(40)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(39)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(195)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

Этап 8.9

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

Этап 9

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 20)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

Этап 10.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 32)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(160)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

Этап 10.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

Этап 10.7

Умножим последний элемент в области результата $(159)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 795)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

Этап 10.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

Этап 10.9

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

Этап 10.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

Этап 11

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 12

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ при $x = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

Этап 12.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 22)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(55)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

Этап 12.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

Этап 12.7

Умножим последний элемент в области результата $(54)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- 135)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

Этап 12.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

Этап 12.9

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

Этап 12.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

Этап 13

Поскольку $- \frac{5}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{5}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{5}{2}$

Этап 14

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ при $x = - \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 14.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 14.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{5}{4})$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

Этап 14.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

Этап 14.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 17)$ на делитель $(- \frac{5}{4})$ и запишем их произведение $(\frac{85}{4})$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

Этап 14.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Этап 14.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{81}{4})$ на делитель $(- \frac{5}{4})$ и запишем их произведение $(- \frac{405}{16})$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Этап 14.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

Этап 14.9

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

Этап 14.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

Этап 15

Поскольку $- \frac{5}{4} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{5}{4}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{5}{4}$

Этап 16

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ при $x = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 16.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 16.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(60)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

Этап 16.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

Этап 16.5

Умножим последний элемент в области результата $(48)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(720)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

Этап 16.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

Этап 16.7

Умножим последний элемент в области результата $(719)$ на делитель $(15)$ и запишем их произведение $(10785)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

Этап 16.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

Этап 16.9

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

Этап 17

Поскольку $15 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $15$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $15$

Этап 18

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ при $x = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 18.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 18.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(- 60)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

Этап 18.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

Этап 18.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 72)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(1080)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

Этап 18.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

Этап 18.7

Умножим последний элемент в области результата $(1079)$ на делитель $(- 15)$ и запишем их произведение $(- 16185)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

Этап 18.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

Этап 18.9

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

Этап 18.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

Этап 19

Поскольку $- 15 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 15$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 15$

Этап 20

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ при $x = \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 20.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 20.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(30)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

Этап 20.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

Этап 20.5

Умножим последний элемент в области результата $(18)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(135)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

Этап 20.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

Этап 20.7

Умножим последний элемент в области результата $(134)$ на делитель $(\frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(1005)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

Этап 20.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

Этап 20.9

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

Этап 20.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

Этап 21

Поскольку $\frac{15}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{15}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{15}{2}$

Этап 22

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ при $x = - \frac{15}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 22.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 22.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

Этап 22.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

Этап 22.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 42)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(315)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

Этап 22.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

Этап 22.7

Умножим последний элемент в области результата $(314)$ на делитель $(- \frac{15}{2})$ и запишем их произведение $(- 2355)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

Этап 22.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

Этап 22.9

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

Этап 22.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

Этап 23

Поскольку $- \frac{15}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{15}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{15}{2}$

Этап 24

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ при $x = \frac{15}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 24.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 24.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(\frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

Этап 24.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

Этап 24.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(\frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(\frac{45}{4})$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

Этап 24.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Этап 24.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{41}{4})$ на делитель $(\frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(\frac{615}{16})$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Этап 24.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

Этап 24.9

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

Этап 24.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

Этап 25

Поскольку $\frac{15}{4} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{15}{4}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{15}{4}$

Этап 26

Применим схему Горнера к $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ при $x = - \frac{15}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Этап 26.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Этап 26.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(- 15)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

Этап 26.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

Этап 26.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 27)$ на делитель $(- \frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(\frac{405}{4})$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

Этап 26.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Этап 26.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{401}{4})$ на делитель $(- \frac{15}{4})$ и запишем их произведение $(- \frac{6015}{16})$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Этап 26.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

Этап 26.9

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

Этап 26.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

Этап 27

Поскольку $- \frac{15}{4} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{15}{4}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{15}{4}$

Этап 28

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

Нижние границы: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

Этап 29