Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$	$- 4$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$	$1$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$	$- 6$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + - 4 x + 1 + \frac{- 6}{x + 1}$

Этап 2.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{6}{x + 1}$

Этап 3

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$	$8$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(40)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$	$37$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(37)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(185)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$	$180$

Этап 4.9

$2 x^{2} + 8 x + 37 + \frac{180}{x - 5}$

Этап 5

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$	$- 12$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(60)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$	$57$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(57)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 285)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$	$- 290$

Этап 6.9

$2 x^{2} + - 12 x + 57 + \frac{- 290}{x + 5}$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 12 x + 57 - \frac{290}{x + 5}$

Этап 7

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - \frac{5}{2}}$ при $x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$	$3$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{15}{2})$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{9}{2})$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{45}{4})$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$	$\frac{25}{4}$

Этап 8.9

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{\frac{25}{4}}{x - \frac{5}{2}}$

Этап 8.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{25}{2 (2 x - 5)}$

Этап 9

Поскольку $\frac{5}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{5}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{5}{2}$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + \frac{5}{2}}$ при $x = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$	$- 7$

Этап 10.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{35}{2})$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$

Этап 10.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Этап 10.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{29}{2})$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- \frac{145}{4})$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Этап 10.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$	$- \frac{165}{4}$

Этап 10.9

$2 x^{2} + - 7 x + \frac{29}{2} + \frac{- \frac{165}{4}}{x + \frac{5}{2}}$

Этап 10.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 7 x + \frac{29}{2} - \frac{165}{2 (2 x + 5)}$

Этап 11

Поскольку $- \frac{5}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{5}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{5}{2}$

Этап 12

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $5, \frac{5}{2}$

Нижние границы: $- 1, - 5, - \frac{5}{2}$

Этап 13