Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x + h) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ .

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + h) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ на $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $3 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x + 2 h - 1) x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Развернем $(- 2 x + 1) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.3

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $2 h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $2 x h$ из $2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.11.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11.2

Вычтем $2 x h$ из $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.14

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

Этап 5