Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 12 x^{2} - 5$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 12 {(x + h)}^{2} - 5$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 12 ((x + h) (x + h)) - 5$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 12 (x (x + h) + h (x + h)) - 5$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 12 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 12 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 12 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 12 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 12 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 12 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 12 x^{2} + 12 (2 h x) + 12 h^{2} - 5$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $12$ .

$f (x + h) = 12 x^{2} + 24 h x + 12 h^{2} - 5$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $12 x^{2} + 24 h x + 12 h^{2} - 5$ .

$12 x^{2} + 24 h x + 12 h^{2} - 5$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $12 x^{2}$ .

$24 h x + 12 h^{2} + 12 x^{2} - 5$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $24 h x$ и $12 h^{2}$ .

$12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5$

$f (x) = 12 x^{2} - 5$

$f (x + h) = 12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5$

$f (x) = 12 x^{2} - 5$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5 - (12 x^{2} - 5)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5 - (12 x^{2}) - - 5}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5 - 12 x^{2} - - 5}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x + 12 x^{2} - 5 - 12 x^{2} + 5}{h}$

Этап 4.1.4

Вычтем $12 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x + 0 - 5 + 5}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $12 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x - 5 + 5}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $12 h^{2} + 24 h x$ и $0$ .

$\frac{12 h^{2} + 24 h x}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $12 h$ из $12 h^{2} + 24 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $12 h$ из $12 h^{2}$ .

$\frac{12 h \cdot h + 24 h x}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $12 h$ из $24 h x$ .

$\frac{12 h \cdot h + 12 h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $12 h$ из $12 h \cdot h + 12 h (2 x)$ .

$\frac{12 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $12 (h + 2 x)$ на $1$ .

$12 (h + 2 x)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 h + 12 (2 x)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $12$ .

$12 h + 24 x$

Этап 4.2.3.2

Изменим порядок $12 h$ и $24 x$ .

$24 x + 12 h$

Этап 5