Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.2.3

Перенесем $2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.2.4

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.2.5

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.2.6

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - (x^{3} + 2 x + 2)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + 0 - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0 + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.7

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ на $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

Этап 4.2.2.3

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

Этап 5