Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 2}{3 - 5 x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{- 2}{3 - 5 (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{- 2}{3 - 5 x - 5 h}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

$f (x) = - \frac{2}{3 - 5 x}$

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

$f (x) = - \frac{2}{3 - 5 x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} - (- \frac{2}{3 - 5 x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{2}{3 - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} + 1 \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{2}{3 - 5 x}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} + \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 5 x}{3 - 5 x}$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} \cdot \frac{3 - 5 x}{3 - 5 x} + \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $\frac{2}{3 - 5 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} \cdot \frac{3 - 5 x}{3 - 5 x} + \frac{2}{3 - 5 x} \cdot \frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ на $\frac{3 - 5 x}{3 - 5 x}$ .

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)} + \frac{2}{3 - 5 x} \cdot \frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{2}{3 - 5 x}$ на $\frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)} + \frac{2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)$ .

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} + \frac{2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\frac{- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (3 - 5 x)$ .

$\frac{\frac{2 (- (3 - 5 x)) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (- (3 - 5 x)) + 2 (3 - 5 x - 5 h)$ .

$\frac{\frac{2 (- (3 - 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (- 1 \cdot 3 - (- 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 - (- 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 + 5 x + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.5

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{\frac{2 (5 x + 0 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.6

Добавим $5 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 (5 x - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.7

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\frac{\frac{2 (0 - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.8

Вычтем $5 h$ из $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 5 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.6.9

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{\frac{- 10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$ в числитель.

$\frac{- 10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 10 h$ .

$\frac{h \cdot - 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$

Этап 5