Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{3}{x - 4}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{3}{(x + h) - 4}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - \frac{3}{x + h - 4}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{3}{x + h - 4}$ .

$- \frac{3}{x + h - 4}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{3}{x + h - 4}$

$f (x) = - \frac{3}{x - 4}$

$f (x + h) = - \frac{3}{x + h - 4}$

$f (x) = - \frac{3}{x - 4}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{3}{x + h - 4} - (- \frac{3}{x - 4})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{3}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{3}{x + h - 4} + 1 \frac{3}{x - 4}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{3}{x - 4}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{3}{x + h - 4} + \frac{3}{x - 4}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x + h - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{- \frac{3}{x + h - 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{3}{x - 4}}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $\frac{3}{x - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 4}{x + h - 4}$ .

$\frac{- \frac{3}{x + h - 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} \cdot \frac{x + h - 4}{x + h - 4}}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 4) (x - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{3}{x + h - 4}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{- \frac{3 (x - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)} + \frac{3}{x - 4} \cdot \frac{x + h - 4}{x + h - 4}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{3}{x - 4}$ на $\frac{x + h - 4}{x + h - 4}$ .

$\frac{- \frac{3 (x - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)} + \frac{3 (x + h - 4)}{(x - 4) (x + h - 4)}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x + h - 4)$ .

$\frac{- \frac{3 (x - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)} + \frac{3 (x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 3 (x - 4) + 3 (x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\frac{- 3 (x - 4) + 3 (x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x - 4) + 3 (x + h - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x - 4)$ .

$\frac{\frac{3 (- (x - 4)) + 3 (x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- (x - 4)) + 3 (x + h - 4)$ .

$\frac{\frac{3 (- (x - 4) + x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (- x - - 4 + x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{\frac{3 (- x + 4 + x + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.4

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{3 (0 + 4 + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.5

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{\frac{3 (4 + h - 4)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.6

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{\frac{3 (h + 0)}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.1.6.7

Добавим $h$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 h}{(x + h - 4) (x - 4)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 h}{(x + h - 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{(x + h - 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 3}{(x + h - 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{(x + h - 4) (x - 4)}$

Этап 5