Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{2 x}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{2 x}{x - 1}$ на $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + h) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(x + h) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.4

Перенесем $- 1$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.5

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Добавим $h x - h - x h$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.10.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.10.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.12.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Этап 5