Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{5}{3 (x + h) - 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} - (\frac{5}{3 x - 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{5}{3 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ на $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{5}{3 x - 1}$ на $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x) - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{\frac{5 (- 3 h + 0)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- 3 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 3 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 15 h$ .

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Этап 5