Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 9 (x + h) - {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2.1.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Этап 2.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3}$

Этап 2.1.2.1.5

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3}$

Этап 2.2.3

Перенесем $9 x$ .

$9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 x$

Этап 2.2.4

Перенесем $9 h$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 h + 9 x$

Этап 2.2.5

Перенесем $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок $- 3 h^{2} x$ и $- h^{3}$ .

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x - x^{3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x) - - x^{3}}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x - - x^{3}}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + 1 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + x^{3}}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- x^{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x + 0}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x$ и $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $9 x$ из $9 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ и $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $h$ из $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{3}$ .

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{2} x$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h x^{2}$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 9 h}{h}$

Этап 4.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $9 h$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.8.6

Вынесем множитель $h$ из $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.8.7

Вынесем множитель $h$ из $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$ на $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 9$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 9$

Этап 4.2.2.3

Изменим порядок $- 3 x h$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 9$

Этап 5