Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$ в виде уравнения.

$y = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $- 2 t^{2} + 4 t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = 4$

$c = 1$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

Этап 2.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{- 2}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{- 2}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot - 2$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

Этап 2.1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 1 - \frac{4}{- 2}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e = 1 - \frac{2 (2)}{- 2}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$e = 1 - (- 1 \cdot 2)$

Этап 2.1.4.2.1.3

Умножим $- (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = 1 - - 2$

Этап 2.1.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$e = 1 + 2$

Этап 2.1.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$e = 3$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$ .

$- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(t - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 2$

$h = 1$

$k = 3$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, 3)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Этап 6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, \frac{23}{8})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$t = 1$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{25}{8}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 3)$

Фокус: $(1, \frac{23}{8})$

Ось симметрии: $t = 1$

Директриса: $y = \frac{25}{8}$

Этап 11