Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 5$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, - 5)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, - \frac{9}{2})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 2$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{11}{2}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(2, - 5)$

Фокус: $(2, - \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 2$

Директриса: $y = - \frac{11}{2}$

Этап 10