Основы мат. анализа Примеры

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ , $y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 1

Вычтем ${(x - 1)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y + 4)}^{2} = 4 - {(x - 1)}^{2}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 4 = \pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 3

Упростим $\pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x - 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $2$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Добавим $2$ и $1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y + 4 = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y + 4 = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = 8$ и $c = - x + 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x + 13))}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вычтем $52$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вычтем $52$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $- 4$ на $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вычтем $52$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 11

Построим график для нахождения точки пересечения уравнений. Точка пересечения является решением системы уравнений.

$(1, - 2)$

$(1, - 6)$

$(0, - 4 + \sqrt{3})$

$(0, - 4 - \sqrt{3})$

Step 12