Основы мат. анализа Примеры

$2 x + 6 z = - 9$ , $3 x - 2 y + 11 z = - 16$ , $3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 1

Выберем два уравнения и исключим одну переменную. В данном случае исключим $x$ .

$2 x + 6 z = - 9$

$3 x - 2 y + 11 z = - 16$

Этап 2

Исключим $x$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $x$ противоположными.

$(- 3) \cdot (2 x + 6 z) = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $(- 3) \cdot (2 x + 6 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (2 x) - 3 (6 z) = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x - 3 (6 z) = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$- 6 x - 18 z = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = (- 3) (- 9)$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 3$ на $- 9$ .

$- 6 x - 18 z = 27$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = 27$

$(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим $(2) \cdot (3 x - 2 y + 11 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x - 18 z = 27$

$2 (3 x) + 2 (- 2 y) + 2 (11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x + 2 (- 2 y) + 2 (11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 2 (11 z) = (2) (- 16)$

Этап 2.2.3.1.2.3

Умножим $11$ на $2$ .

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = (2) (- 16)$

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = (2) (- 16)$

Этап 2.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 16$ .

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = - 32$

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = - 32$

$- 6 x - 18 z = 27$

$6 x - 4 y + 22 z = - 32$

Этап 2.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $x$ из системы.

				$-$	$6$	$x$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$		$2$	$7$
		$+$			$6$	$x$	$+$	$2$	$2$	$z$	$=$	$-$	$3$	$2$
$-$	$4$	$y$	$+$						$4$	$z$	$=$		$-$	$5$

Этап 2.4

В результирующем уравнении выражение $x$ исключено.

$- 4 y + 4 z = - 5$

Этап 3

Выберем еще два уравнения и исключим $x$ .

$3 x - 2 y + 11 z = - 16$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4

Исключим $x$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $x$ противоположными.

$(- 1) \cdot (3 x - 2 y + 11 z) = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(- 1) \cdot (3 x - 2 y + 11 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 (3 x) - 1 (- 2 y) - 1 (11 z) = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x - 1 (- 2 y) - 1 (11 z) = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 3 x + 2 y - 1 (11 z) = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.2.1.1.2.3

Умножим $11$ на $- 1$ .

$- 3 x + 2 y - 11 z = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

$- 3 x + 2 y - 11 z = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

$- 3 x + 2 y - 11 z = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

$- 3 x + 2 y - 11 z = (- 1) (- 16)$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$- 3 x + 2 y - 11 z = 16$

$3 x - y + 7 z = - 11$

$- 3 x + 2 y - 11 z = 16$

$3 x - y + 7 z = - 11$

$- 3 x + 2 y - 11 z = 16$

$3 x - y + 7 z = - 11$

Этап 4.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $x$ из системы.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$1$	$1$	$z$	$=$		$1$	$6$
$+$		$3$	$x$		$-$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
						$y$		$-$	$4$	$z$	$=$			$5$

Этап 4.4

В результирующем уравнении выражение $x$ исключено.

$y - 4 z = 5$

Этап 5

Возьмем результирующие уравнения и исключим другую переменную. В этом случае исключим $y$ .

$- 4 y + 4 z = - 5$

$y - 4 z = 5$

Этап 6

Исключим $y$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$- 4 y + 4 z = - 5$

$(4) \cdot (y - 4 z) = (4) (5)$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $(4) \cdot (y - 4 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y + 4 (- 4 z) = (4) (5)$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = (4) (5)$

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = (4) (5)$

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = (4) (5)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $4$ на $5$ .

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = 20$

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = 20$

$- 4 y + 4 z = - 5$

$4 y - 16 z = 20$

Этап 6.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

	$-$	$4$	$y$	$+$		$4$	$z$	$=$	$-$	$5$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$1$	$5$

Этап 6.4

В результирующем уравнении выражение $y$ исключено.

$- 12 z = 15$

Этап 6.5

Разделим каждый член $- 12 z = 15$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $- 12 z = 15$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 z}{- 12} = \frac{15}{- 12}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 z}{- 12} = \frac{15}{- 12}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{15}{- 12}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Сократим общий множитель $15$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$z = \frac{3 (5)}{- 12}$

Этап 6.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$z = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot - 4}$

Этап 6.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$z = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot - 4}$

Этап 6.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$z = \frac{5}{- 4}$

Этап 6.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{5}{4}$

Этап 7

Подставим значение $z$ в уравнение с уже исключенным $x$ и решим относительно оставшейся переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим значение $z$ в уравнение с уже исключенным $x$ .

$- 4 y + 4 (- \frac{5}{4}) = - 5$

Этап 7.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$- 4 y + 4 (\frac{- 5}{4}) = - 5$

Этап 7.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- 4 y + 4 (\frac{- 5}{4}) = - 5$

Этап 7.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 y - 5 = - 5$

Этап 7.2.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y = - 5 + 5$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 5$ и $5$ .

$- 4 y = 0$

Этап 7.2.3

Разделим каждый член $- 4 y = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим каждый член $- 4 y = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 7.2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{- 4}$

Этап 7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$y = 0$

Этап 8

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений и решим относительно последней переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений.

$2 x + 6 (- \frac{5}{4}) = - 9$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$2 x + 6 (\frac{- 5}{4}) = - 9$

Этап 8.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 x + 2 (3) \frac{- 5}{4} = - 9$

Этап 8.2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x + 2 \cdot 3 \frac{- 5}{2 \cdot 2} = - 9$

Этап 8.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$2 x + 2 \cdot 3 \frac{- 5}{2 \cdot 2} = - 9$

Этап 8.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$2 x + 3 (\frac{- 5}{2}) = - 9$

Этап 8.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{- 5}{2}$ .

$2 x + \frac{3 \cdot - 5}{2} = - 9$

Этап 8.2.1.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$2 x + \frac{- 15}{2} = - 9$

Этап 8.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - \frac{15}{2} = - 9$

Этап 8.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $\frac{15}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - 9 + \frac{15}{2}$

Этап 8.2.2.2

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 8.2.2.3

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 8.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- 9 \cdot 2 + 15}{2}$

Этап 8.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.5.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$2 x = \frac{- 18 + 15}{2}$

Этап 8.2.2.5.2

Добавим $- 18$ и $15$ .

$2 x = \frac{- 3}{2}$

Этап 8.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Этап 8.2.3

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Этап 8.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Этап 8.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Этап 8.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3.3.2

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 9

Решение системы уравнений может быть представлено в виде точки.

$(- \frac{3}{4}, 0, - \frac{5}{4})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(- \frac{3}{4}, 0, - \frac{5}{4})$

Форма уравнения:

$x = - \frac{3}{4}, y = 0, z = - \frac{5}{4}$

				$-$	$6$	$x$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$		$2$	$7$
		$+$			$6$	$x$	$+$	$2$	$2$	$z$	$=$	$-$	$3$	$2$
$-$	$4$	$y$	$+$						$4$	$z$	$=$		$-$	$5$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$1$	$1$	$z$	$=$		$1$	$6$
$+$		$3$	$x$		$-$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
						$y$		$-$	$4$	$z$	$=$			$5$

	$-$	$4$	$y$	$+$		$4$	$z$	$=$	$-$	$5$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$1$	$5$

				$-$	$6$	$x$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$		$2$	$7$
		$+$			$6$	$x$	$+$	$2$	$2$	$z$	$=$	$-$	$3$	$2$
$-$	$4$	$y$	$+$						$4$	$z$	$=$		$-$	$5$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$1$	$1$	$z$	$=$		$1$	$6$
$+$		$3$	$x$		$-$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
						$y$		$-$	$4$	$z$	$=$			$5$

	$-$	$4$	$y$	$+$		$4$	$z$	$=$	$-$	$5$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$1$	$5$

				$-$	$6$	$x$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$		$2$	$7$
		$+$			$6$	$x$	$+$	$2$	$2$	$z$	$=$	$-$	$3$	$2$
$-$	$4$	$y$	$+$						$4$	$z$	$=$		$-$	$5$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$1$	$1$	$z$	$=$		$1$	$6$
$+$		$3$	$x$		$-$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
						$y$		$-$	$4$	$z$	$=$			$5$

	$-$	$4$	$y$	$+$		$4$	$z$	$=$	$-$	$5$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$1$	$5$