Основы мат. анализа Примеры

$x y = 24$ , $x^{2} + y^{2} = 52$

Этап 1

Разделим каждый член $x y = 24$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x y = 24$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{24}{y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 52$ на $\frac{24}{y}$ .

${(\frac{24}{y})}^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{24}{y}$ .

$\frac{24^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $24$ в степень $2$ .

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ на $y^{2}$ .

$\frac{576}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{576}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$576 + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$576 + y^{2 + 2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $52 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$576 + y^{4} - 52 y^{2} = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 52 u + 576 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.3

Разложим $u^{2} - 52 u + 576$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $576$ , а сумма — $- 52$ .

$- 36, - 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 36) (u - 16) = 0$

$x = \frac{24}{y}$

$(u - 36) (u - 16) = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 16 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.5

Приравняем $u - 36$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $u - 36$ к $0$ .

$u - 36 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$u = 36$

$x = \frac{24}{y}$

$u = 36$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.6

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.6.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

$x = \frac{24}{y}$

$u = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 36) (u - 16) = 0$ верно.

$u = 36, 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.8

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 36$

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.9

Решим первое уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 36$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10.2

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = \pm 6$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 6$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 6$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.11

Решим второе уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Избавимся от скобок.

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2}}$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = \pm 4$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 4$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 3.3.13

Решением $y^{4} - 52 y^{2} + 576 = 0$ является $y = 6, - 6, 4, - 4$ .

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим $24$ на $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Этап 6

Заменим все вхождения $y$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Этап 7

Заменим все вхождения $y$ на $- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим $24$ на $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Этап 8

Заменим все вхождения $y$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $4$ .

$x = \frac{24}{4}$

$y = 4$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим $24$ на $4$ .

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

Этап 9

Заменим все вхождения $y$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Этап 10

Заменим все вхождения $y$ на $- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим $24$ на $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Этап 11

Заменим все вхождения $y$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $4$ .

$x = \frac{24}{4}$

$y = 4$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим $24$ на $4$ .

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

Этап 12

Заменим все вхождения $y$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{24}{y}$ на $- 4$ .

$x = \frac{24}{- 4}$

$y = - 4$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Разделим $24$ на $- 4$ .

$x = - 6$

$y = - 4$

$x = - 6$

$y = - 4$

$x = - 6$

$y = - 4$

Этап 13

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 6)$

$(- 4, - 6)$

$(6, 4)$

$(- 6, - 4)$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(4, 6), (- 4, - 6), (6, 4), (- 6, - 4)$

Форма уравнения:

$x = 4, y = 6$

$x = - 4, y = - 6$

$x = 6, y = 4$

$x = - 6, y = - 4$

Этап 15