Основы мат. анализа Примеры

$x - y = 1$ , $x^{2} - x y - y^{2} = - 29$

Этап 1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + y$

$x^{2} - x y - y^{2} = - 29$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $1 + y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} - x y - y^{2} = - 29$ на $1 + y$ .

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(1 + y)}^{2}$ в виде $(1 + y) (1 + y)$ .

$(1 + y) (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(1 + y) (1 + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y + y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Добавим $y$ и $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 y + y^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + 2 y + y^{2} + (- 1 - y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 y + y^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.7

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - y - y \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.8

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.8.1

Перенесем $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.1.8.2

Умножим $y$ на $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y + 0 - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.2.1.2

Добавим $1 + 2 y - y$ и $0$ .

$1 + 2 y - y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y - y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 2.2.1.2.2

Вычтем $y$ из $2 y$ .

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $1 + y - y^{2} = - 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $29$ к обеим частям уравнения.

$1 + y - y^{2} + 29 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.2

Добавим $1$ и $29$ .

$y - y^{2} + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $y - y^{2} + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок $y$ и $- y^{2}$ .

$- y^{2} + y + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + y + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$- (y^{2}) - 1 (- y) + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $30$ в виде $- 1 (- 30)$ .

$- (y^{2}) - 1 (- y) - 1 \cdot - 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - 1 (- y)$ .

$- (y^{2} - y) - 1 \cdot - 30 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} - y) - 1 (- 30)$ .

$- (y^{2} - y - 30) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y^{2} - y - 30) = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим $y^{2} - y - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $- 1$ .

$- 6, 5$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((y - 6) (y + 5)) = 0$

$x = 1 + y$

$- ((y - 6) (y + 5)) = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.5

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

$x = 1 + y$

$y = 6$

$x = 1 + y$

Этап 3.6

Приравняем $y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 5$ к $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = 1 + y$

Этап 3.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = - 5$

$x = 1 + y$

$y = - 5$

$x = 1 + y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (y - 6) (y + 5) = 0$ верно.

$y = 6, - 5$

$x = 1 + y$

$y = 6, - 5$

$x = 1 + y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 1 + y$ на $6$ .

$x = 1 + 6$

$y = 6$

Этап 4.2

Упростим $x = 1 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 1 + 6$

$y = 6$

$x = 1 + 6$

$y = 6$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ и $6$ .

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 1 + y$ на $- 5$ .

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

Этап 5.2

Упростим $x = 1 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(7, 6)$

$(- 4, - 5)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(7, 6), (- 4, - 5)$

Форма уравнения:

$x = 7, y = 6$

$x = - 4, y = - 5$

Этап 8