Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{2} - 3 x - 4$ , $y = 5 x + 11$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$

Этап 2

Решим $x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 4 - 5 x = 11$

Этап 2.1.2

Вычтем $5 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 = 11$

Этап 2.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x - 4 - 11 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $11$ из $- 4$ .

$x^{2} - 8 x - 15 = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 5 x + 11$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1} + y = 5 x + 11$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $64$ и $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $64$ и $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 4 + \sqrt{31}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.3

Добавим $64$ и $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 4 - \sqrt{31}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + \sqrt{31}, 4 - \sqrt{31}$

Этап 3

Вычислим $y$ , когда $x = 4 + \sqrt{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 + \sqrt{31}$ вместо $x$ .

$y = 5 (4 + \sqrt{31}) + 11$

Этап 3.2

Упростим $5 (4 + \sqrt{31}) + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 5 \cdot 4 + 5 \sqrt{31} + 11$

Этап 3.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$y = 20 + 5 \sqrt{31} + 11$

Этап 3.2.2

Добавим $20$ и $11$ .

$y = 31 + 5 \sqrt{31}$

Этап 4

Вычислим $y$ , когда $x = 4 - \sqrt{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4 - \sqrt{31}$ вместо $x$ .

$y = 5 (4 - \sqrt{31}) + 11$

Этап 4.2

Упростим $5 (4 - \sqrt{31}) + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 5 \cdot 4 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Этап 4.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$y = 20 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = 20 - 5 \sqrt{31} + 11$

Этап 4.2.2

Добавим $20$ и $11$ .

$y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31})$

$(4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31}), (4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Форма уравнения:

$x = 4 + \sqrt{31}, y = 31 + 5 \sqrt{31}$

$x = 4 - \sqrt{31}, y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Этап 7